所谓自然数幂次和就是这样的一个问题：给定 $n, m$，求：

$$ \sum_{i=1}^n i^m $$

一般来说 $n$ 都很大，而 $m$ 比较小，所以我们可以考虑固定 $n$，写出答案关于 $m$ 的指数生成函数：

$$
\begin{aligned}
F(x)=&\sum_{k=0}^\infty \frac{\sum_{i=0}^n i^k}{k!}x^k\\
=&\sum_{i=0}^n e^{ix}\\
=&\frac{e^{(n+1)x-1}}{e^x-1}
\end{aligned}
$$

直接按照这个式子跑一次求逆就可以在 $O(m\log m)$ 时间内求出 $1$~$m$ 次幂的和了。

实际上如果把分母提出来，定义 $B(x)=\frac x {e^x – 1}$，那么就有

$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^n i^m \\
=&m![x^m]F(x) \\
=&\frac 1{m+1}\sum_{i=0}^m {m+1\choose i}B_i(n+1)^{m+1-i}
\end{aligned}
$$

$\{B_i\}$ 就是伯努利数，而这个等式也就是众所周知的伯努利等式。

也就是说，通过指数生成函数，我们可以很快地由自然数幂次和问题推导出伯努利数的解法。（但通过普通生成函数就不是这么容易了。）